Cálculo dos ángulos das interseccións dos planos que forman a estrutura

Enunciado do problema:

Dados tres toros e unha esfera relacionados como se describe:
Os tres toros intersécanse entre si de tal xeito que as circunferencias definidas polos centros das circunferencias xeratrices son tanxentes entre si dúas a dúas.
Todas as circunferencias xeratrices son tanxentes exteriores á esfera.
Pretendemos calcular a verdadeira magnitude dos ángulos formados polas interseccións dos planos definidos polos centros das circunferencias xeratrices.

Datos:

Raio da esfera: 15 cm
Raio das circunferencias xeratrices: 2 cm
Distancia do eixe de revolución aos centros das circunferencias xeratrices dos toros: 6,5 cm

Solución:

Nota: Para unha mellor comprensión do debuxo trazaremos únicamente aquelas proxeccións necesarias para a obtención dos ángulos buscados, entendendo o resto da constución a partir do enunciado do problema.
Chamaremos circunferencia directriz a circunferencia definida polos centros das circunferencias xeratrices.

1._ Trazamos a proxección vertical da esfera.
2._ Trazamos a proxección vertical de dous dos tres toros de tal xeito que os planos definidos polas circunferencias directrices sexan planos proxectantes verticais.
3._ Seccionamos o conxunto mediante un plano frontal que pase polo centro da esfera. Lembremos que os elementos comprendidos neste plano están representados en verdadeira magnitude.
4._ Trazamos as proxeccións dunha esfera auxiliar que pasa polos centros das circunferencias directrices.
5._ Trazamos as proxeccións vertical (O2P2) e horizontal (O1P1) do segmento que une os centros das circunferencias directrices representadas.
6._ Xiramos o conxunto de figuras en torno a un eixe paralelo á liña de terra que pasa polo centro da esfera un ángulo tal que situe os centros das tres circunferencias directrices nun plano paralelo ao plano horizontal de proxección.
7._ Trazamos a proxección horizontal do triángulo formado polos centros das tres circunferencias directrices (O1P1Q1). Sabendo que as proxeccións trazadas no paso  5 están en VM o trazado redúcese á construción dun triángulo equilátero de lado OP inscrito nunha circunferencia con centro na proxección horizontal do centro da esfera.
8._Trazamos a proxección horizontal dun triángulo equilátero formado por segmentos horizontais tanxentes á esfera auxiliar nos centros das circunferencias directrices. Na práctica o problema redúcese ao trazado dun triángulo de lados paralelos aos do triángulo obtido no paso anterior pasando polos vértices opostos.
9._Trazamos a proxección horizontal da pirámide que ten como base o triángulo obtido no paso anterior e cuarto vértice no punto de interseccion das interseccións dos planos definidos polas circunferencias xeratrices.
Observemos que as caras oblicuas da pirámide están sobre os planos definidos polas circunferencias directrices, e que as arestas concorrentes no vértice superior están situadas nas rectas intersección dos ditos planos, polo que o problema proposto pode reducirse ao cálculo da VM dunha cara oblicua desta pirámide.
10._ Representamos o perfil da esfera auxiliar e da pirámide. Lembremos que as tres caras oblicuas da pirámide son tanxentes á  esfera, e polo tanto podemos axudarnos da terceira proxección da cara paralela á liña de terra para obter a cota do cuarto vértice da pirámide.
11._ Trazamos a cara oblicua da pirámide en VM, ben abatindo sobre o plano horizontal definido pola súa base, ben a partir das respectivas VM dos seus lados.

O ángulo formado polos lados iguais do triángulo resultante e a verdadeira magnitude dos ángulos formados polas interseccións dos planos definidos polas circunferencias xeratrices, e polo tanto o valor buscado.

Deseño do patrón