Esta mañá, na proba de matemáticas II da selectividade, había un exercício de xeometría, no que se pide comparar a área de dous triángulos que forma unha corda CD con cada un dos extremos do diámetro perpendicular AB. En concreto, pregúntase a que distancia debe estar a corda do centro da circunferencia para que a diferencia entre as áreas dos triángulos ACD e BCD sexa máxima.
En parte pola convicción de que este tipo de problemas poden razonarse gráficamente, ademáis de con métodos numéricos, e en parte porque a xeometría dinámica resulta un medio perfecto para analisar e demostrar o resultado, busquei esta maneira de razonalo dende o punto de vista do debuxo técnico:
Paso 1. Establecer gráficamente a diferencia entre os dous triángulos: Situamos o simétrico de P (punto medio da corda CD) respecto do centro: P’. Os dous triángulos AP’C e AP’D equivalen a BPC e BPD por teren igual base e altura. Polo tanto a diferencia da que nos falan é o triángulo P’CD.
Paso 2. Averiguar en que momento ou posición de P este triángulo ten maior área. Para calcular más fácilmente centrámonos na súa cuarta parte: o triángulo OPC (metade da base por metade da altura). A área destre triángulo rectángulo, considerando a súa hipotenusa OC constante (igual sempre ao raio) varía segundo a altura PQ.
Resulta sinxelo ver que a altura máxima corresponde á posición na que o triángulo é isósceles, e polo tanto cando o ángulo alfa é de 45º.
Polo tanto a solución é, respecto do raio, o coseno de 45, ou sexa a metade de raiz de 2: 0,7172. Como no enunciado do problema o raio vale 10, a solución é 5*raíz de 2: 7,172
No seguinte applet, movendo o punto P, pode comprobarse todo o razoamento. Os textos dan algo de erro polos redondeos, pero os datos que puxen son os correctos. E non foi preciso máis coñecemento numérico que entender a área do triángulo como o produto da base pola altura. Saúdos