Este é un relato da maneira en que utilizo Geogebra nas clases de Debuxo Técnico II, no tema da inversión. Os conceptos teóricos que manexamos son os que se resumen neste PDF que está na web do instituto. Primeiro aprendemos como localizar o inverso dun punto dado, contando co centro de inversión e a circunferencia Raíz de k:
Dada a circunferencia Rk, definida polo centro (de inversión) A e o punto B, e dado o punto libre P, trázase a recta PA, unha perpendicular a esta por A, márcase unha das interseccións coa circunferencia I, Créase P’ como simétrico de P respecto de A, co comando “Reflexa obxeto por punto”, únese P’ con I, trázase a perpendicular por I, e onde esta corta a recta PA localizamos Q, punto inverso de P.
Demóstrase que P e Q son inversos, indicando aos alumnos a semellanza entre os triángulos AP’I e AIQ, para que comproben que o segmento AI, raio da circunferencia Raíz de k, é media proporcional entre AP (ou AP’) e AQ.
Neste punto poderíase crear unha macro (En Geogebra non compensa, porque xa existe nas últimas versións como comando “reflexa obxeto en circunferencia”).
A continuación, e borrando todo excepto a circunferencia, facemos varias operacións para comprobar algúns dos teoremas ou conceptos da teoría exposta. Por exemplo: situamos dous puntos libres C e D, localizamos os inversos C’ e D’ co comando do programa, logo trazamos as rectas AC e AD, e unha circunferencia que pase por tres dos puntos C,C’,D,D’. A circunferencia pasará sempre polo cuarto punto, e así demostramos estes dous teoremas:
- Dous puntos inversos sempre están aliñados co centro de inversión
- Dous pares de puntos inversos na mesma inversión son concíclicos.
Na seguinte figura trazamos unha recta r (C,D). Co mesmo comando “reflexamos” a recta na circunferencia, obtendo a súa figura inversa r’. Tamén sería interesante, se non andamos apurados de tempo, colocar un novo punto P na recta, invertilo, e logo pedir o lugar xeométrico do seu inverso P’ se varía a posición de P. Demostramos que:
- A figura inversa dunha recta que non pasa polo centro de inversión é unha circunferencia que si pasa por el.
Movendo a recta ata que pase polo centro A, demóstrase o caso complementario: Toda recta que pasa polo centro de inversión transfórmase en si mesma, pero os seus puntos non, só os que ten en común coa circunferencia de autoinversión:
Unha curiosidade, que non lin en ningún manual, pero puden comprobar precisamente hai un par de anos, ao utilizar a xeometría dinámica: a recta r que non pasa polo centro é o eixo radical da súa inversa r’ e a circunferencia de autoinversión. Podemos velo grazas a unha circunferencia calquera que corte a estas dúas, producindo dous eixos radicais. O punto común dos eixos sempre está contido na recta, demostrando que esta tamén é un eixo radical:
Por último, podemos facer a figura inversa desta circunferencia libre, e comprobar que, salvo as que pasan por pares de puntos inversos, que se transforman en si mesmas, o resto das circunferencias que non pasen polo centro transfórmanse noutras circunferencias: