Elipsógrafos (e III)

Hoxe veremos dous elipsógrafos curiosos e de estructura moi sinxela. O primeiro coñécese como “Elipsógrafo de Delaunay”. Supoño que non se trata do pintor francés, senón do xeómetra ruso Boris Delone, que gostaba de utilizar a versión francesa do seu apelido. Está baseado nun rombo no que un dos vértices (A) percorre unha circunferencia, e dous puntos a igual distancia, nos dous lados que parten del, discorren por unha guía recta. A simetría establece unha razón proporcional entre as distancias a esta recta dende A e o vértice oposto C.

Resulta sinxelo concluír que C descrebe unha elipse, xa que é a figura resultante de estirar ou encoller unha circunferencia nunha dirección determinada, como estamos cansados de comprobar dende que existen os gráficos por ordenador.

Pola contra este que mostramos a continuación, debido a Van Schooten, non utiliza as propiedades dos paralelogramos, senón que consiste nun antiparalelogramo articulado. Nos elipsógrafos das entregas anteriores (Proclo, Leonardo e de novo Van Schooten) sempre hai unha vara con tres puntos aliñados, un dos cales traza a elipse. As distancias dende este punto aos outros dous son os semieixos maior e menor.
Neste outro caso, dous lados do antiparalelogramo terán como medida a distancia entre os dous focos, e os outros dous lados o eixo maior. Fíxanse dous vértices consecutivos (A,B) como focos, e móvese un dos outros vértices (D, no gráfico). C e D forzosamente descreben as dúas circunferencias focais, de maneira que resulta sinxelo por simetría demostrar que o punto de intersección de AD e BC mantén constante a suma de distancias aos dous focos (mover o punto D).

Con este aparello tan sinxelo demóstrase visualmente as dúas formas de definir a elipse como lugar xeométrico: puntos con suma de distancias constante a outros dous, ou puntos que equidistan dunha circunferencia e doutro punto.
Colocando unhas prolongacións ao antiparalelogramo, poderían trazarse hipérbolas (algún día o miraremos). E isto é do século XVII. Vaia cabeza tiña o Van Schooten!